1樓：513216
在歐氏空間中是否存在將所有正方形都映為圓的對映f？
假如滿足條件的f存在，那麼對於乙個正方形A的任何一邊，一定有另一正方形與之共同占有，從而由像的唯一性，可見這一邊上所有點的像也是某兩個圓共有的，這兩個圓要麼重合，要麼有1個或2個交點。由於對平面上任何一點都可以過A的一邊都作乙個正方形，從而如果過這一邊的所有正方形映出的都是同一圓，那麼平面上所有點的像都映在這圓上。如果平面上存在一點的像不在這圓上，則A的四邊皆過此點作正方形，則這總共五個正方形映為四組相交圓(每組的交點為1或2)，由於兩正方形的公共點應映到兩圓的交點上，此時A的一條邊至多映到2點，則A至多映到8點，由於正方形頂點處映到1點，從而A至多能映到4點，與A映成一圓矛盾。
從而若f存在，就必須把所有點映到同一圓上。
此時對圓上給定一點，由於任一正方形上都存在一原像，在任意鄰域內可取正方形，從而這點對應的原像之集是稠密的。所以如果f是連續的，則所有點都映到一點。不過把所有點映到一點太無聊了，所以這裡只考慮不退化為點的圓。
從而如果f存在，則f不是連續的。而且既然f的值域為圓，則不可能再用f把圓對映為正方形了。
2樓：人心易冷
哦，我又突然發現，我把圓和正方形理解為圓盤的邊界（也就是圓周）和I^2的邊界了。
糾正乙個很嚴重的錯誤，連續的雙射不一定是同胚。下面的對映f就是很經典的例子。但是圓和正方形也的確是同胚的，我最開始是從商空間考慮的，所以才有下面構造的對映。
存在，而且這個對映是雙射且連續。
我們考慮如下兩個對映：
f就是常見的圓的引數形式，f顯然連續。g其實是把正方形的四條邊的每條邊的引數形式拼接起來，由粘接引理可知，g也連續。而且容易看出，f和g都是雙射，所以逆對映存在。
然後我們考慮對映fg（或者gf），就是從正方形到圓（或者圓到正方形）的連續雙射。
如果正方形是圓，那麼圓是正方形嗎？
反對所有說由不可能前提可以推出一切命題的答案。邏輯不研究命題本身的真偽，只在乎推理本身的合法性。說 正方形是圓 是假命題都是自己補充的條件，比如歐式幾何之類的，而題主根本沒說。回到這道題，題主問的相當於是 A 能推出 B 那麼是不是 B 能推出 A 顯然答案是不一定。 大鈾子 如果正方形是圓，那麼圓...
對正方形面積公式求導為什麼得到的是正方形周長的一半？
lhw 求解積分2x f Xk Xk 1 存在2Xk因為連續函式介值定理 存在函式值 2Xk 2Xk 1 並且值域 處於Xk 因此f Xk Xk 1 Xk Xk 1 Xk Xk 1 這裡上標為b下標為0所以f Xk Xk 1 Xk Xk 1 b 夢羽靈泉 因為擴邊是對稱的啊，你增加一單位邊長，其實是...
能否用不同大小的小正方形拼出乙個大正方形 ？
我記得這個問題和電路裡面的基爾霍夫方程組有聯絡縱向和橫向分別代表電壓和電流正方形說明所有電阻是一樣的方形的分布代表了電阻之間的連線關係。別的我就不知道了是在學物理競賽的時候乙個很神的學長告訴我們的 拼音佳佳 引入無限的概念,就連化圓為方都是有解的.這就是古人給自己挖的坑,要不然微積分早出1000年了...