1樓：朱恩偉
線性回歸可以理解為最小化殘差平方和 SSR。
從最優化的角度看，把額外增加的自變數前係數約束為 0，則 SSR 和沒有增加該自變數時的 SSR 相同；去掉這個約束，新的 SSR 肯定不大於原 SSR。
又知，R方 = (1-SSR)/SST，所以自變數增加後，R方一定增加。
公式推導見：
為什麼回歸平方和一定隨變數增多而增大？
2樓：StableGenius
計量經濟學：從入門到入土
首先給出乙個短回歸方程： 然後再給出乙個長回歸方程： 我們來比較一下這兩個回歸的R方，如果能夠證明下面的R方不小於上面的R方，那就能夠解決題主的疑惑了。
給出R方的定義： 其中的 指的是回歸的殘差項， ，很容易發現在新增了新的自變數以後，R方只有殘差項的平方和 會發生變化。如果能夠證明第二個回歸方程的 比第乙個回歸方程的小，那麼我們就完成證明過程了。
我們知道： 自然就會有：
現在我們給出短回歸的 :
然後再給出長回歸的 ： 根據我記錄的分塊矩陣求逆公式，可以給出： 式中的 ，，，， 。
現在來比較一下大小唄（敲公式太繁瑣，略了，具體看圖）：
被略掉的關鍵步驟
如果長回歸方程中出現了完全多重共線性，我們就無法獲得最小二乘估計量了。所以，我們僅考慮不存在完全多重共線性的情形，那麼矩陣 為列滿秩矩陣，自然 為正定矩陣，進而有 為正定矩陣，所以 恆不小於零，於是我們就完成了命題的證明。即，在新增了若干個不會造成完全多重共線性的變數以後，R方不會減小。
啥時候R方會不變呢？那就是 的時候會保持不變。具體來說有兩種情形：①被解釋變數 是解釋變數 的線性組合；②後新增的回歸元與短回歸的殘差項彼此正交。