1樓：菸灰
更強的命題：乙個整數，開n次方，不是整數就是無理數。
證明：若m開n次方是整數，命題成立。
若m開n次方不為整數，假設為不是整數的有理數，設m^(1/n)=p/q,
則m*q^n=p^n，
對等號兩邊質因數分解，右邊的冪均是n的整數倍，左邊的冪存在不為n的整數倍，矛盾，假設錯誤。
綜上，原命題成立。
2樓：微積分
假如素數的平方根是有理數，首先肯定這是整數，因為素數本身就是整數。如果存在的話，意味著這個素數就有乙個因子了，自然不成立
3樓：FbutR
根據素數的定義即得。
素數的定義為因子只有1與本身，故開根號必定只能是無理數。
簡單寫寫證明吧，整數開根號後必定是整數(若能開出來)，如若素數a開根號是有理數b(b≠1)，則a=b×b，與a是素數矛盾。
4樓：wzd
s為素數，若平方根（不妨取算術根）是有理數q／p，p，q互質，則
s＝q／p，當p≠1時，s不是整數，所以p＝1，推出s＝q！！！那s還是素數嗎？
5樓：
素數的任意次方根，都是是代數整數，而代數整數和有理數域的交集是整數。如果素數的任意次方根是有理數的話，就會得到素數的任意次方根都是整數，這與素數的定義矛盾（大於等於 2 次方根的時候）。
6樓：Apricity
假設某素數p的平方根為有理數不妨設這個有理數為a若a為整數則p有因數a 與已知矛盾
若a為分數則a方即p為分數與已知矛盾
故素數的平方根均為無理數
7樓：hhh
我們來證明質數的n次方根也是無理數。
假設質數的n次方根是有理數，那麼就有n次根號p=a/b，則a^n/b^n。但是因為a和b是互質數，所以a^n和b^n互質，不可能約成整數，矛盾，其次如果b能整除a，那麼a/b是p的因子，與p是質數矛盾。
故p的n次方根都是無理數。取n=2即證。
8樓：雙人笙歌行
設存在某個素數 ，使得 ，其中 為有理數。
顯然，不為整數。
設 ，且 互質（即已化為最簡分數）， 。
則 ，由於 互質，故 沒有相同質因子。同樣 也沒有相同質因子，故 也是最簡分數。而 ，故 不為整數，與素數定義相悖。
（只能被常數1或自己整除，不能被其他整數整除的正整數。）
（盡力用最簡單的語言回答了qwqqqqq 可能會有點冗長）
9樓：小雨可白
設 ，則我們有 。
Proof
假設 ，則可以設 ， ，其中 均為整數，且 。
有 ， 。
設 ，則有 ， 。
由 得到 ，這與 相矛盾。
故假設不成立，原命題得證。
對於以上的引理，若取 ，意味著質數的平方根都是無理數。
如何證明e為無理數
Honest168 分享乙個我新學到的證法，雖然同樣是利用反證法，但和最高贊的方法有些許差別。利用反證法。若 為有理數，則可設 對於 有 設 為 的整數部分，則有 若 則 但 和 相衝突，故 為無理數，證畢。創造這個證明法的是讓 巴普蒂斯 約瑟夫 傅利葉，題主感興趣的話可以去查一下這個人的生平和該證...
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