1樓：
對於樹鏈剖分，常見的做法是按照輕重鏈進行剖分
然後用一棵全域性線段樹維護整棵樹按dfs序構成的序列
這種寫法的優勢有：實現方便、支援可持久化、支援子樹操作
對於這種做法，複雜度確實是 的，考慮一棵滿二叉樹即可
但是，如果只需要支援鏈上操作，那麼可以對每條實鏈都用一棵線段樹進行維護
在這種情況下，是否存在著比輕重鏈剖分更優的剖分方法呢？
在這種情況下，是否存在著比 更優的複雜度呢？
樹上一點到根的路徑會經過若干條實鏈，我們分別計算每條實鏈的貢獻
如果一條實鏈從頭到尾都被走過了，那麼它的貢獻是 1
如果一條實鏈只被走過了一部分，那麼它的貢獻是線段樹的深度 ，其中 k 為實鏈的長度
注意這個複雜度只是上界（不然也不會有全域性平衡二叉樹），但已經足夠精細了
我們可以用動態規劃來解這個問題
令dp[u]表示以u為根的子樹中，樹上所有點到根的路徑的複雜度的最大值
乙個根節點u會連出一條實鏈，而這條實鏈上的每個點又會連出若干條虛鏈
令len為實鏈的長度
令w_1, w_2..為實鏈中最深的節點連出的虛子節點，且dp[w_1] >= dp[w_2] >= ..
令v_1, v_2..為實鏈中的其他節點連出的虛子節點，且dp[v_1] >= dp[v_2] >= ..
則dp[u] = max(dp[w_1] + 1, dp[v_1] + lg[len])
這裡lg[len]的值是，之後的分析中也是如此
如果乙個節點v_1不存在，那麼它的dp值就是 0 ，之後的分析中也是如此
我們可以用動態規劃來解這個問題
令dp[u]表示以u為根的子樹中，最優的剖分方案的最壞複雜度
令dp[u][len]表示以u為根的子樹中，實鏈長度為len時，最優的剖分方案的最壞複雜度
令u.ch_1, u.ch_2..為u的子節點，且dp[u.ch_1] >= dp[u.ch_2] >= ..
那麼顯然有
dp[u] = min(dp[u][1], dp[u][2], ..)
dp[u][1] = dp[u.ch_1] + 1，對應於實鏈的長度為 1 時的最優剖分方案
dp[u][2] = max(dp[u.ch_1.ch_1] + 1, dp[u.
ch_2] + 2, dp[u.ch_1.ch_2] + 2)，對應於實鏈的長度為 2 時的最優剖分方案
dp[u][3] = max(dp[u.ch_1.ch_1.
ch_1] + 1, max(dp[u.ch_2] , dp[u.ch_1.
ch_2] , dp[u.ch_1.ch_1.
ch2]) + 3)，對應於實鏈的長度為 3 時的最優剖分方案
dp[u][k] = max(dp[u(.ch_1)^k] + 1, max(dp[u.ch_2], dp[u.
ch_1.ch_2], dp[u.ch_1.
ch_1.ch2], ..) + lg[k])，對應於實鏈的長度為 k 時的最優剖分方案
也就是說，每次要增長實鏈的時候，都會選擇dp值最大的子節點，這本質上是乙個貪心演算法
觀察dp[u][k] = max(dp[u(.ch_1)^k] + 1, max(dp[u.ch_2], dp[u.
ch_1.ch_2], dp[u.ch_1.
ch_1.ch2], ..) + lg[k])
我們發現隨著k的增加，左邊dp[u(.ch_1)^k] + 1不變或者減一，因為性質dp[u.ch_1] <= dp[u] <= dp[u.ch_1] + 1
我們發現隨著k的增加，右邊max(dp[u.ch_2], dp[u.ch_1.
ch_2], dp[u.ch_1.ch_1.
ch2], ..) + lg[k])不變或者增加
那麼dp[u][k]會在什麼時候取到最小值呢，那必然是在兩個單調函式相交的時候
dp[u(.ch_1)^(k - 1)] + 1 >= max(dp[u.ch_2], dp[u.
ch_1.ch_2], dp[u.ch_1.
ch_1.ch2], ..) + lg[k - 1]
dp[u(.ch_1)^(k + 0)] + 1 >= max(dp[u.ch_2], dp[u.
ch_1.ch_2], dp[u.ch_1.
ch_1.ch2], ..) + lg[k + 0]
dp[u(.ch_1)^(k + 1)] + 1 < max(dp[u.ch_2], dp[u.
ch_1.ch_2], dp[u.ch_1.
ch_1.ch2], ..) + lg[k + 1]
dp[u(.ch_1)^(k + 2)] + 1 < max(dp[u.ch_2], dp[u.
ch_1.ch_2], dp[u.ch_1.
ch_1.ch2], ..) + lg[k + 2]
最終dp[u] = dp[u(.ch_1)^k] + 1
所以我們並不需要計算每乙個dp[u][k]，要是要去找到單調函式相交時對應的那個k
我們令tail[u]表示以u為根的子樹的最優剖分中u所在的實鏈中深度最大的節點，即u(.ch_1)^(k - 1)
我們令heap[u]維護max(dp[u.ch_2], dp[u.ch_1.ch_2], dp[u.ch_1.ch_1.ch2], ..)
我們令deep[u]表示節點u在整棵樹中的的深度
那麼有dp[u] = dp[tail[u].ch_1] + 1
那麼有k = deep[u] - deep[tail[u]] + 1
那麼有dp[tail[u].ch_1] + 1 >= heap[u] + lg[deep[u] - deep[tail[u]] + 1]
我們從dp[u.ch_1], tail[u.ch_1], heap[u.
ch_1]著手計算dp[u], tail[u], heap[u]，因為tail[u]必然是tail[u.ch_1]本身或其祖先
我們令tail[u] = tail[u.ch_1], heap[u] = heap[u.ch_1]，然後把dp[u.ch_2]放到heap[u]裡
如果有dp[tail[u].ch_1] + 1 >= heap[u] + lg[deep[u] - deep[tail[u]] + 1]，那麼就得到了正確的值
如果有dp[tail[u].ch_1] + 1 < heap[u] + lg[deep[u] - deep[tail[u]] + 1]，那麼正確的值在tail[u]的祖先那裡
我們把dp[tail[u].ch_2]取出heap[u]，然後令tail[u] = tail[u].father，迴圈往復，直到得到正確的值，最後算出dp[u]
如果用單調佇列來維護heap[u]，時間複雜度為 O(n)，非常高效
如果用堆來維護heap[u]，時間複雜度為 O(nlgn)，也可以接受
對於這個問題，我暫時還沒有得到明確的結果
但是對於很多自稱能卡樹剖的資料（比如OI wiki上的）表現良好
2樓：immortalCO
像這樣根號條根號的鏈構成乙個完全二叉樹，就能卡到 log(sqrt(n))^2=log(n)^2 了（每個點往上有 log 條重鏈，每條重鏈至少 sqrt(n) 長）。（專業卡樹剖）
這樣的資料，不在建線段樹上做文章的演算法都能卡掉。
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